抛物线y=-x^2+px+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2), 当p,q为正整数时,求p,q的值

解：

原抛物线方程：y=-x^2+px+q化为

y=-(x-p/2)^2+(p^2+4q)/4

易知函数y=-x^2+px+q为二次上凸（下凹)函数，即开口向下的二次函数，

由题意知抛物线有两个不同的零点

从而必有抛物线最高点：(p^2+4q)/4＞0 …①

考虑零点取已知区间极值的情况：

1）一个零点为-1，一个为1，此时对称轴x=0
从而p/2＞0

2)一个零点为0,一个为2，此时对称轴x=1

从而p/2＜1

综合1），2）有0＜p＜2
又p为整数，故p=1 （到这儿可知①肯定成立啦）
从而y=-x^2+x+q

下面确定q的值:

由题意抛物线y=f(x)=-x^2+x+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),

有f(-1)f(0)＜0,即q(q-2)＜0,解得：0＜q＜2

另外f(1)f(2)＜0,即q(q-2)＜0,其实和上一个为同一个不等式呵O(∩_∩)O~

因为q也是整数，0＜q＜2，所以q=1

综上p=1,q=1.

PS:得到f(-1)f(0)＜0的原理，就是若抛物线(这里说所有二次抛物线）的零点在

（-1，0）上，那么是不是f(-1)，f(0)必然是一个取正值，一个取负值呢？！

呵呵，f(-1)，f(0)一正一负，从而：f(-1)f(0)＜0

这个思想对解决这种零点在某个区间上不确定值时很重要哦！